Question

已知抛物线．

1.求抛物线顶点M的坐标；

2.若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

3.在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

 

1.∵抛物线∴顶点M的坐标为．

2.抛物线与与x轴的两交点为A(-1,0) ，B（2，0）．

设线段BM所在直线的解析式为．

∴解得 ∴线段BM所在直线的解析式为．  

设点N的坐标为．∵点N在线段BM上，∴. ∴．

∴S_{四边形NQAC}＝S_△AOC＋S_梯形OQNC．

∴S与t之间的函数关系式为，自变量t的取值范围为．

3.假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P（m，n），则且．

，，．

分以下几种情况讨论：

①若∠PAC＝90°，则．∴

解得， ．∵ ．∴．∴．         

②若∠PCA＝90°，则．∴

解得，．∵，∴．∴．

当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．

∴存在符合条件的点P，且坐标为，．

            

解析:略