题目内容

如图，在△ABC中，∠BAC=105°，∠B=45°， $数学公式$ ，AD⊥BC，垂足为D，以A为圆心，AD为半径画弧EF，求图中阴影部分的面积．

解：∵∠BAC=105°，∠B=45°，
∴∠C=180°-105°-45°=30°，
又∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，AB=2 $\text{[math]}$ ，∠B=45°，
∴AD=BD= $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ =2，
∴S_△ABD= $\text{[math]}$ ×AD×BD= $\text{[math]}$ ×2×2=2；
在Rt△ADC中，AD=2，∠C=30°，
∴DC= $\text{[math]}$ AD=2 $\text{[math]}$ ，
∴S_△ADC= $\text{[math]}$ ×2×2 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ；
∴S_阴影部分=S_△ABC-S_扇形AEF=（2+2 $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ =2+2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
分析：由∠BAC=105°，∠B=45°，得到∠C=180°-105°-45°=30°，然后先在Rt△ABD中求出AD=BD= $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ =2，再在Rt△ADC中
求出DC= $\text{[math]}$ AD=2 $\text{[math]}$ ，最后由S_阴影部分=S_△ABC-S_扇形AEF通过计算即可．
点评：本题考查了扇形的面积公式：S= $\text{[math]}$ ，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S= $\text{[math]}$ lR，l为扇形的弧长，R为半径．同时考查了含45度和含30度的直角三角形三边的关系．