Question

16．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．如图，求证：∠EAF=∠ABD．

Answer 1

分析 如图1，连接FE、FC，构建全等三角形△ABF≌△CBF（SAS），则易证∠BAF=∠2，FA=FC；根据垂直平分线的性质、等量代换可知FE=FA，∠1=∠BAF，则∠5=∠6．然后由四边形内角和是360°、三角形内角和定理求得∠5+∠6=∠3+∠4，则∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD．

解答 解：如图1，连接FE、FC．

∵点F在线段EC的垂直平分线上，
∴FE=FC，
∴∠1=∠2．
∵△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），
∴AB=CB，∠4=∠3，
在△ABF与△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠4=∠3}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF=∠2，FA=FC，
∴FE=FA，∠1=∠BAF，
∴∠5=∠6．
∵∠1+∠BEF=180°，
∴∠BAF+∠BEF=180°
∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360°，
∴∠AFE+∠ABE=180°．
又∵∠AFE+∠5+∠6=180°，
∴∠5+∠6=∠3+∠4，
∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD．

点评 本题考查了垂直平分线的性质、全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ABF≌△CBF．