Question

已知面积为4的△ABC的边长分别为BC=a，CA=b，AB=c，c＞b，AD是∠A的角平分线，点C′是点C关于直线AD的对称点，若△C′BD与△ABC相似，求△ABC的周长的最小值．

Answer 1

分析：根据相似三角形的性质，即可利用a，b表示出△ABC的周长，然后根据不等式的性质a+b≥2

ab

即可求得最小值．

解答：解：△BDC’相似于△BCA
情况（1）若DC’∕∕AC
令∠DAC=α，则∠BAC=∠BC’D=2α
易知AC’=C’D=CD=AC=b
显然DC’=AC矛盾（DC’应小于AC）
情况（2）∠BC’D=∠C
又∠DC’A=∠C
故∠BC’D=∠C=90°
在面积为4的直角三角形中，显然，等腰直角三角形周长最小
证法如下：a+b+c=a+b+

a2+b2

=a+b+

(a+b)2-16

又a+b≥2

ab

即a+b≥4

2

当且仅当a=b=2

2

成立
所以a+b+c≥4

2

+4
则最小值是：4

2

+4．

点评：本题主要考查了的不等式的性质，正确理解运用a+b≥2

ab

是解题的关键．