题目内容

如图，直线y=ax+3与坐标轴交于A、B两点，与双曲线 $数学公式$ 交于C、D两点，若△DOB的面积为2，则△AOC的面积为________．

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分析：设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁y₁=x₂y₂=k，联立直线与双曲线解析式得ax²+3x-k=0，可知x₁•x₂=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，可得y₂=-ax₁，由直线y=ax+3得OA=3，OB=- $\text{[math]}$ ，则S_△AOC= $\text{[math]}$ ×3×x₁，S_△BOD= $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ ）×y₂= $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ ）×（-ax₁），比较S_△AOC与S_△BOD的大小即可．
解答：如图，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵C、D两点在双曲线 $\text{[math]}$ 上，
∴x₁y₁=x₂y₂=k，
联立 $\text{[math]}$ ，得ax²+3x-k=0，
由根与系数关系，得x₁•x₂=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
解得y₂=-ax₁，
∵A、B两点是直线y=ax+3与坐标轴的交点，
∴OA=3，OB=- $\text{[math]}$ ，
∴S_△AOC= $\text{[math]}$ ×3×x₁= $\text{[math]}$ x₁，
S_△BOD= $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ ）×y₂= $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ ）×（-ax₁）= $\text{[math]}$ x₁，
∴S_△AOC=S_△BOD=2．
故答案为：2．
点评：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是根据双曲线上点的坐标特点，根与系数关系，三角形面积的表示方法，通过代数变形，得出已知三角形与所求三角形的面积关系．