Question

小红房间窗户的装饰物是由两个半径相同的四分之一圆组成（如图1），小兰房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和一个半圆组成（如图2），小明房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和两个半圆组成（如图3）
（1）根据装饰图案变化的规律，设计下一个装饰物图案；
（2）分别求出图1、图2、图3中装饰物所占的面积；（结果要求化简）
（3）你能发现装饰物面积变化的规律吗？请用代数式表示．

Answer 1

分析：（1）根据所给的条件和所给的图形，即可得到下一个装饰图案是两个四分之一圆和三个半圆；
（2）结合图形和圆的面积公式即可求出图1、图2、图3中装饰物所占的面积；
（3）根据图1、图2、图3得出的装饰物所占的面积，即可求出装饰物面积变化的规律公式．

解答：（1）下一个装饰图案是两个四分之一圆和三个半圆；
（2）根据题意得：
图1中装饰物所占的面积是：

1

2

π（

b

2

）²=

1

8

πb²；
图2中装饰物所占的面积是：(

b

4

) 2π=

π

16

b²，
图3中装饰物所占的面积是：（

b

6

） ²π+

1

2

×（

b

6

） ²π=

π

24

b²，
（3）发现装饰物面积变化的规律是

π

8n

b2（n为正整数）．

点评：本题考查了代数式求值和列代数式等知识点的应用，这是一个实际问题，要求即能用数学知识解决，又要讲究漂亮和美观．