题目内容
如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于D点．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
【答案】分析：（1）把点E，A、B的坐标代入函数表达式，即可求出a、b、c的值；
（2）根据C点的坐标求出直线CD的解析式，然后结合图形设出K点的坐标（t，0），表达出H点和G点的坐标，列出HG关于t的表达式，根据二次函数的性质求出最大值；
（3）需要讨论解决，①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，当点N在点M的左侧时，MN=3-n；当点N在点M的右侧时，MN=n-3，然后根据已知条件在求n的坐标就容易了
②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线时，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（-1，0）
过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，结合已知条件再求n的坐标就容易了
解答：
解：（1）设抛物线的函数表达式为y=a（x-1）（x+3）
∵抛物线交y轴于点E（0，-3），将该点坐标代入上式，得a=1
∴所求函数表达式为y=（x-1）（x+3），
即y=x2+2x-3；
（2）∵点C是点A关于点B的对称点，点A坐标（-3，0），点B坐标（1，0），
∴点C坐标（5，0），
∴将点C坐标代入y=-x+m，得m=5，
∴直线CD的函数表达式为y=-x+5，
设K点的坐标为（t，0），则H点的坐标为（t，-t+5），G点的坐标为（t，t2+2t-3），
∵点K为线段AB上一动点，
∴-3≤t≤1，
∴HG=（-t+5）-（t2+2t-3）=-t2-3t+8=-（t+
）2+
，
∵-3＜-
＜1，
∴当t=-
时，线段HG的长度有最大值
；
（3）∵点F是线段BC的中点，点B（1，0），点C（5，0），
∴点F的坐标为（3，0），
∵直线l过点F且与y轴平行，
∴直线l的函数表达式为x=3，
∵点M在直线l上，点N在抛物线上，
∴设点M的坐标为（3，m），点N的坐标为（n，n2+2n-3），
∵点A（-3，0），点C（5，0），
∴AC=8，
分情况讨论：
①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MN∥AC，且MN=AC=8．
当点N在点M的左侧时，MN=3-n，
∴3-n=8，解得n=-5，
∴N点的坐标为（-5，12），
当点N在点M的右侧时，MN=n-3，
∴n-3=8，
解得n=11，
∴N点的坐标为（11，140），
②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（-1，0）
过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，
将x=-1代入y=x2+2x-3，得y=-4，
过点N作直线NM交直线l于点M，
在△BPN和△BFM中，
∠NBP=∠MBF，
BF=BP，
∠BPN=∠BFM=90°，
∴△BPN≌△BFM，
∴NB=MB，
∴四边形ANCM为平行四边形，
∴坐标（-1，-4）的点N符合条件，
∴当N的坐标为（-5，12），（11，140），（-1，-4）时，以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．
点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式函数图象交点的求法等知识点、平行四边形的判定和性质等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
（2）根据C点的坐标求出直线CD的解析式，然后结合图形设出K点的坐标（t，0），表达出H点和G点的坐标，列出HG关于t的表达式，根据二次函数的性质求出最大值；
（3）需要讨论解决，①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，当点N在点M的左侧时，MN=3-n；当点N在点M的右侧时，MN=n-3，然后根据已知条件在求n的坐标就容易了
②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线时，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（-1，0）
过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，结合已知条件再求n的坐标就容易了
解答：
解：（1）设抛物线的函数表达式为y=a（x-1）（x+3）∵抛物线交y轴于点E（0，-3），将该点坐标代入上式，得a=1
∴所求函数表达式为y=（x-1）（x+3），
即y=x2+2x-3；
（2）∵点C是点A关于点B的对称点，点A坐标（-3，0），点B坐标（1，0），
∴点C坐标（5，0），
∴将点C坐标代入y=-x+m，得m=5，
∴直线CD的函数表达式为y=-x+5，
设K点的坐标为（t，0），则H点的坐标为（t，-t+5），G点的坐标为（t，t2+2t-3），
∵点K为线段AB上一动点，
∴-3≤t≤1，
∴HG=（-t+5）-（t2+2t-3）=-t2-3t+8=-（t+
）2+
，∵-3＜-
＜1，∴当t=-
时，线段HG的长度有最大值
；（3）∵点F是线段BC的中点，点B（1，0），点C（5，0），
∴点F的坐标为（3，0），
∵直线l过点F且与y轴平行，
∴直线l的函数表达式为x=3，
∵点M在直线l上，点N在抛物线上，
∴设点M的坐标为（3，m），点N的坐标为（n，n2+2n-3），
∵点A（-3，0），点C（5，0），
∴AC=8，
分情况讨论：
①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MN∥AC，且MN=AC=8．
当点N在点M的左侧时，MN=3-n，
∴3-n=8，解得n=-5，
∴N点的坐标为（-5，12），
当点N在点M的右侧时，MN=n-3，
∴n-3=8，
解得n=11，
∴N点的坐标为（11，140），
②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（-1，0）
过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，
将x=-1代入y=x2+2x-3，得y=-4，
过点N作直线NM交直线l于点M，
在△BPN和△BFM中，
∠NBP=∠MBF，
BF=BP，
∠BPN=∠BFM=90°，
∴△BPN≌△BFM，
∴NB=MB，
∴四边形ANCM为平行四边形，
∴坐标（-1，-4）的点N符合条件，
∴当N的坐标为（-5，12），（11，140），（-1，-4）时，以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．
点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式函数图象交点的求法等知识点、平行四边形的判定和性质等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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