Question

如图，∠AOB=30°，过OA上到点O的距离为1，3，5，7，…的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S₁，S₂，S₃…．则
（1）S₁=

 

；
（2）通过计算可得S₂₀₀₉=

 

．

Answer 1

分析：（1）分析知奇数的通式为：2n-1（n为正整数），设阴影梯形的上底和下底距点O的长分别为a和b，则可以表达出Sn的表达式，将每个梯形的上底和下底距点O的长代入，求解即可；
（2）第2009个梯形前面已有2008×2个奇数，2009个梯形上底距点O的距离为第2008×2+1个奇数，下底为第2008×2+2个奇数．

解答：解：（1）设阴影梯形的上底和下底距点O的长分别为a和b，
则上底长为btan∠AOB，下底长为atan∠AOB，
∴S_n=

1

2

b×btan∠AOB-

1

2

a×atan∠AOB=

3

6

（b²-a²），
又∵梯形1距离点O的距离a=1，b=3，
∴S₁=

3

6

（3²-1²）=

4 3

3

；

（2）第2009个梯形前面已有2008×2个奇数，
2009个梯形上底距点O的距离为第2008×2+1个奇数，
下底为第2008×2+2个奇数，
∴第2009个梯形的两边长分别为：
a=2×（2008×2+1）-1=8033，
b=2×（2008×2+1）+1=8035，
故S₂₀₀₉=

3

6

（8035²-8033²）=5356

3

．
故答案为

4

3

3

，5356

3

．

点评：本题考查了解直角三角形，直角三角形的性质以及学生分析、探究问题及运用规律解决问题的能力，有一定难度．