Question

如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以的长为半径作⊙O交x轴于P、Q两点，交y轴于G、H两点，△ABC内接于⊙O，且BC∥x轴交y轴于D，∠BAC=45°（如图1）．
（1）求C点坐标；
（2）若点A在x轴上方的半圆上运动（不与G重合），且CA的延长线交y轴于M，AB交y轴于N（如图2），当A点运动时，ON•OM的值是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出其值；
（3）若点A在⊙O上运动（不与B、C重合），是否存在点A，使△ABC为等腰三角形？若存在，请求出A点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形BOC是直角三角形即可解出C点坐标．
（2）分析几个特殊位置：当A位于y正半轴与圆的交点或A位于x负半轴与圆的交点时值不变．
（3）分类讨论，分别讨论当AB，AC，BC为腰时的情况．
解答：解：（1）∵∠BOC=2∠BAC=90°，
即△BOC是等腰直角三角形，CO=，
∴C点坐标为（sin45°，-cos45°），
即（1，-1）；

（2）当A位于y正半轴与圆的交点时，ON=OM=，ON•OM=2；
A位于x负半轴与圆的交点时，
∴ON=，OM=，
∴ON•OM=2．
当A点运动时，ON•OM的值不发生变化，ON•OM=2．

（3）当AB=AC时，圆与y轴的交点即A的可能取值，
故A（0，）或（0，）；
当AB=BC时，A与C关于原点对称，此时A（-1，1）；
当BC=AC时，A与C关于x轴对称，此时A（1，1）．
点评：考查了三角形外接圆的灵活应用，对动态点的讨论和分析．