Question

如图，已知AB是⊙O的直径，以点B为圆心的圆交于OB于C，交⊙O于点E、F，交AB的延长线于点D．连结EC并延长交⊙O于G．

(1)求证：AE是⊙B的切线；

(2)求证：EG平分∠AEF；

(3)若点M为AO上一点，且GM∥BE，求证：GM等于⊙O的半径．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵　AB是⊙O的直径，∴　∠AEB=90°，即AE⊥BE． 又∵　BE是⊙B的半径，∴　AE是⊙B的切线． (2)连结CF． ∵　AE是⊙B的切线，∴　∠AEC=∠CFE． ∵　EF是公共弦，O、B为两圆的圆心， ∴　OB垂直平分EF．∴　=∴　∠CFE=∠CEF=∠AEC． 即EG平分∠AEF． (3)连结OG． ∵　MG∥BE，∴　∠BMG=∠MBE． ∵　∠AEB=90°，且AB⊥EF，∴　∠AEF=∠MBE． ∴　∠MOG=2∠AEG=∠AEF=∠MBE=∠OMG． ∴　GM=GO．即GM等于⊙O的半径．

提示：

本题主要考查：(1)运用圆的有关性质进行论证的能力；(2)能否将结论与已知图形结合起来添加辅助线．