Question

【题目】两个反比例函数y=（k＞1）和y=在第一象限内的图象如图所示，点P在y=的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，BE⊥x轴于点E，当点P在y=图象上运动时，以下结论：①BA与DC始终平行；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积不会发生变化：④△OBA的面积等于四边形ACEB的面积．其中一定正确的是_____．（填序号）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

设出点P的坐标，由此可得出A、C、B、D点的坐标，由点的坐标即可表示出各线段的长度，根据线段间的比例关系即可得出BA∥DC，即①成立；找出当PA=PB时，m的值，由此发现②不一定成立；③根据反比例函数系数k的几何意义可得出三角形OBD、OAC以及矩形OCPD的面积，分割图形即可得出S四边形PAOB=k-1，即③成立；根据各边长度计算出S梯形BECA，结合三角形的面积公式求出S△OBA，发现二者相等，由此得知④成立．综上即可得出结论．

解：如图，

①正确．∵A、B在y=上，

∴S△AOC=S△BOE，

∴OCAC=OEBE，

∴OCAC=OEBE，

∵OC=PD，BE=PC，

∴PDAC=DBPC，

∴，

∴AB∥CD．故此选项正确．

②错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB；

③正确，由于矩形OCPD、△ODB、△OCA的面积为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；故此选项正确．

④正确．∵△ODB的面积=△OCA的面积=，

∴△ODB与△OCA的面积相等，同理可得：S△ODB=S△OBE，

∵△OBA的面积=矩形OCPD的面积﹣S△ODB﹣S△BAP﹣S△AOC，四边形ACEB的面积=矩形OCPD的面积﹣S△ODB﹣S△BAP﹣S△OBE

∴△OBA的面积=四边形ACEB的面积，故此选项正确，

故一定正确的是①③④．

故答案为：①③④．