题目内容
3．
如图，二次函数y=ax2+bx-4m（a＞0）与x轴负半轴交于点A，与y轴负半轴交于点B，正方形ABCD的边AD与y轴正半轴交于E（0，m）．（1）用含m的代数式表示点A的坐标；
（2）如果二次函数y=ax2+bx-4m（a＞0）与x轴的另一个交点为F，且CF⊥x轴，求ma的值；
（3）如果另一个二次函数y=x2+bx-4m与正方形ABCD的四条边（包括端点）始终都有五个交点，求m的取值范围．
分析 （1）求得点B的坐标为（0，-4m），m＞0，E（0，m），可得OE=m，OB=4m，证明△AOB～△EOA，得到OA2=OB•OE=4m2，所以OA=2m，即可解答；
（2）过点C做y轴垂线，然后构造并证明△AOB≌△BGC，用m表示点C、点F的坐标，将点F的坐标代入抛物线解析式即可求出ma的值；
（3）二次函数y=x2+bx-4m与正方形ABCD的四条边（包括端点）始终都有五个交点，则抛物线与正方形的交点在点A右侧，在点C的左侧，将前面求得的点A、F代入，得到两个不等式，求出两个不等式即可得到答案．
解答 解：（1）∵当x=0时，y=ax2+bx-4m=-4m，
∴二次函数y=ax2+bx-4m（a＞0）图象与Y轴负半轴交于点B（0，-4m），m＞0，
∵正方形ABCD的边AD与y轴正半轴交于E（0，m），
∴OE=m，
∵∠EAO+∠AEO=90°，∠EAO+∠BOA=90°，
∴∠AEO=∠BOA，
∵∠AOE=∠BOA，
∴△AOB～△EOA，
∴OA2=OB•OE=4m2
∴OA=2m，
∴点A的坐标为（-2m，0）．
（2）过点C作CG⊥y轴于点G，如图1，
∠ABO+∠COB=90°，∠COB+∠BCG=90°
在△AOB和△BGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠BCG}\\{∠AOB=∠CGB}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BGC（AAS），
∴BG=AO，CG=BO，
∴C（4m，-2m），
∵CF⊥x轴，
∴F（4m，0），
∴a（4m）2+b（4m）-4m=0，
4am=1-b，
8am=2-2b，①
a（2m）2+b（-2m）-4m=0，
4am=4+2b，②
①+②得到12am=6，
ma=$\frac{1}{2}$；
（3）∵二次函数y=x2+bx-4m与正方形ABCD的四条边（包括端点）始终都有五个交点，如下图：
则抛物线与正方形的交点在点A右侧，在点C的左侧，
∵A（-2m，0），C（4m，-2m），
∴当x=-2m，y＞0，当x=4m，y＞-2m，
即：（-2m）2+b×（-2m）-4m＞0①，
（4m）2+4bm-4m＞-2m②，
解①得：4m2-2bm-4m＞0，
∵m＞0，
∴4m-2b-4＞0③；
解②得：16m2+4bm-2m＞0，
∵m＞0，
∴8m+2b-1＞0④；
③+④得：
12m-5＞0，
∴m＞$\frac{5}{12}$．
点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有：二次函数的基本性质、正方形的基本性质、全等三角形的判定及性质，综合性性强，难点在于所有点的坐标都含有字母，对学生的理解、计算提出更高的要求．
如图，一次函数的图象与反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（k2≠0）的图象交于A（-2，6）和点B（4，n）
如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC
如图1，正方形ABCD中，点M是AB的中点，点P在某条线段上匀速运动，若运动的时间为x，点P与点M之间的距离为y，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则点P的运动路线可能是（ ）