Question

如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD,BC=BE,F、G、H分别是DC、CE、AB的中点。求证：（1）HF=HG；(2)∠FHG=∠DAC

Answer 1

证明：（1）证法一：如图1，连接AF、BG

∵AC=AD，BC=BE，F、G分别是DC、CE的中点，

∴AF⊥BD，BG⊥AE

在直角三角形AFB中，

∵H是斜边AB中点，

∴FH=AB

同理可证HG=AB

∴HF=HG

证法二：如图2，取AC中点M，BC中点N，连接MF、MH、NG、NH，

∵F、G、H分别是CD、CE、AB中点，

∴FM=AD且FM∥AD，NG=BE且NG∥BE，

MH=CB且MH∥CB，HN=AC且HN∥AC

∴∠FMC=∠DAC，∠GNC=∠EBC，四边形MHNC是平行四边形

∴∠HMC=∠HNC

又∵AD=AC，BC=BE， ∠ACD=∠BCE，

∴FM=HN，MH=GN，∠DAC=∠EBC

∴∠ =∠HNG

∴△FMH≌△HNG

∴FH=GH

（2）证法一：如图1，∵AD=AC，CB=CE，∠ACD=∠BCE，

∴∠DAC＝∠CBE

∵∠FHG=180°－∠AHF－∠BHG=180°－（180°－2∠FAH）－（180°－2∠HBG）

=2∠FAH+2∠HBG－180°

=2（∠FAC+∠CAB）+2（∠CBG+∠CBA）－180°

=∠DAC+∠CBE+2（∠CAB+∠CBA）－180°

=2∠DAC+2（180°－∠ACB）－180°

=2∠DAC+2∠ACD－180°

=∠DAC+∠DAC+2∠ACD－180°=∠DAC，

∴∠FHG＝∠DAC

证法二：如图2，∵△FMH≌△HNG，

∴∠MHF=∠NGH，∠MFH=∠NHG

又∵四边形MHNC为平行四边形，

∴∠FHG＝∠MHN－（∠MHF+∠NHG）

=∠MHN－（180°－∠FMH）

=∠MHN+∠FMH－180°

=∠ACN+∠FMH－180°

=180°+∠FMC－180°

=∠FMC=∠DAC

∴∠FHG=∠DAC