题目内容
（2012•绍兴三模）如图，二次函数
与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．（1）求直线AC的解析式；
（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；
（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．
【答案】分析：（1）直线AC经过点A，C，根据抛物线的解析式面积可求得两点坐标，利用待定系数法就可求得AC的解析式；
（2）根据三角形面积公式即可写出解析式；
（3）可以分腰和底边进行讨论，即可确定点的坐标；
（4）过G作GH⊥y轴，根据三角形相似，相似三角形的对应边的比相等即可求解．
解答：解：（1）y=-
x2+2，
x=0时，y=2，
y=0时，x=±2，
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
设直线AC的解析式是y=kx+b，
代入得：
，
解得：k=1，b=2，
即直线AC的解析式是y=x+2；
（2）当0＜t＜2时，
OP=（2-t），QC=t，
∴△PQC的面积为：S=
（2-t）t=-
t2+t，
当2＜t≤4时，
OP=（t-2），QC=t，
∴△PQC的面积为：S=
（t-2）t=
t2-t，
∴
；
（3）当AC=CM=BC时，M的坐标是：（0，
），（0，-2）；
当AM=BM=CM时，M的坐标是：（0，0），（0，
）；
一共四个点，（0，
），（0，0），（0，
），（0，-2）；
（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．
由AP=t，可得AE=
．
∵GH∥OP
∴
即
=
，解得GH=
，
所以GC=
GH=
．
于是，GE=AC-AE-GC=
=
．
即GE的长度不变．
当2＜t≤4时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．
由AP=t，可得AE=
．
由
即
=
，
∴GH（2+t）=t（t-2）-（t-2）GH，
∴GH（2+t）+（t-2）GH=t（t-2），
∴2tGH=t（t-2），
解得GH=
，
所以GC=
GH=
．
于是，GE=AC-AE+GC=2
-
t+
=
，
即GE的长度不变．
综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值
．
点评：本题属于一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质，需注意分类讨论，全面考虑点M所在位置的各种情况．
（2）根据三角形面积公式即可写出解析式；
（3）可以分腰和底边进行讨论，即可确定点的坐标；
（4）过G作GH⊥y轴，根据三角形相似，相似三角形的对应边的比相等即可求解．
解答：解：（1）y=-
x2+2，x=0时，y=2，
y=0时，x=±2，
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
设直线AC的解析式是y=kx+b，
代入得：
，解得：k=1，b=2，
即直线AC的解析式是y=x+2；
（2）当0＜t＜2时，
OP=（2-t），QC=t，
∴△PQC的面积为：S=
（2-t）t=-
t2+t，当2＜t≤4时，
OP=（t-2），QC=t，
∴△PQC的面积为：S=
（t-2）t=
t2-t，∴
；（3）当AC=CM=BC时，M的坐标是：（0，
），（0，-2）；当AM=BM=CM时，M的坐标是：（0，0），（0，
）；一共四个点，（0，
），（0，0），（0，
），（0，-2）；
（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．
由AP=t，可得AE=
．∵GH∥OP
∴
即
=
，解得GH=
，所以GC=
GH=
．于是，GE=AC-AE-GC=
=
．即GE的长度不变．
当2＜t≤4时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．
由AP=t，可得AE=
．
由
即
=
，∴GH（2+t）=t（t-2）-（t-2）GH，
∴GH（2+t）+（t-2）GH=t（t-2），
∴2tGH=t（t-2），
解得GH=
，所以GC=
GH=
．于是，GE=AC-AE+GC=2
-
t+
=
，即GE的长度不变．
综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值
．点评：本题属于一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质，需注意分类讨论，全面考虑点M所在位置的各种情况．
练习册系列答案
全能测控期末小状元系列答案
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