Question

已知：如图，抛物线y=ax²+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了B点坐标，易求得OB、OC的长，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；可过D作x轴的垂线，交AC于M，x轴于N；易得△ADC的面积是DM与OA积的一半，可设出N点的坐标，分别代入直线AC和抛物线的解析式中，即可求出DM的长，进而可得出四边形ABCD的面积与N点横坐标间的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出四边形ABCD的最大面积．
（3）本题应分情况讨论：
①过C作x轴的平行线，与抛物线的交点符合P点的要求，此时P、C的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标；
②将AC平移，令C点落在x轴（即E点）、A点落在抛物线（即P点）上；可根据平行四边形的性质，得出P点纵坐标（P、C纵坐标的绝对值相等），代入抛物线的解析式中即可求得P点坐标．

解答：解：（1）∵B（1，0），
∴OB=1；
∵OC=3BO，
∴C（0，-3）；（1分）
∵y=ax²+3ax+c过B（1，0）、C（0，-3），
∴

c=-3 a+3a+c=0

；
解这个方程组，得

a= 3 4 c=-3

∴抛物线的解析式为：y=

3

4

x2+

9

4

x-3（2分）

（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N
在y=

3

4

x2+

9

4

x-3中，令y=0，
得方程

3

4

x2+

9

4

x-3=0
解这个方程，得x₁=-4，x₂=1
∴A（-4，0）
设直线AC的解析式为y=kx+b
∴

0=-4k+b b=-3

解这个方程组，得

k=- 3 4 b=-3

∴AC的解析式为：y=-

3

4

x-3（3分）
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC
=

15

2

+

1

2

•DM•(AN+ON)
=

15

2

+2•DM
设D(x，

3

4

x2+

9

4

x-3)，M(x，-

3

4

x-3)DM=-

3

4

x-3-(

3

4

x2+

9

4

x-3)=-

3

4

(x+2)2+3（4分）
当x=-2时，DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值

27

2

（5分）

（3）如图所示，
①过点C作CP₁∥x轴交抛物线于点P₁，过点P₁作P₁E₁∥AC交x轴于点E₁，此时四边形ACP₁E₁为平行四边形，
∵C（0，-3）
∴设P₁（x，-3）
∴

3

4

x2+

9

4

x-3=-3
解得x₁=0，x₂=-3
∴P₁（-3，-3）；
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，-3）
∴设P（x，3），
∴

3

4

x2+

9

4

x-3=3，
x²+3x-8=0
解得x=

-3+ 41

2

或x=

-3- 41

2

，
此时存在点P2(

-3+ 41

2

，3)和P3(

-3- 41

2

，3)
综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P₁（-3，-3），P2(

-3+ 41

2

，3)，P3(

-3- 41

2

，3)．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的判定和性质、二次函数的应用等知识，综合性强，难度较大．