Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6，动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q，点M运动的时间为t（秒）。
（1）当t=0.5时，求线段QM的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R，请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过点C作于F，则四边形AFCD为矩形， ∴，， 此时，Rt△AQM∽Rt△ACF， ∴， 即， ∴QM=1；
（2）∵为锐角，故有两种情况： ①当时，点P与点E重合， 此时，即t+t=2， ∴t=1， ②当时，如备用图1， 此时Rt△PEQ∽Rt△QMA， ∴， 由（1）知，， 而， ∴， ∴， 综上所述，t=1或；
（3）为定值， 当t＞2时，如备用图2， ， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形AMQP为矩形， ∴PQ∥AB， ∴△CRQ∽△CAB， ∴。