Question

【题目】如图，已知二次函数的图象抛物线与轴相交于不同的两点，,且,

(1)若抛物线的对称轴为求的值；

（2）若，求的取值范围；

（3）若该抛物线与轴相交于点D，连接BD，且∠OBD＝60°，抛物线的对称轴与轴相交点E，点F是直线上的一点，点F的纵坐标为，连接AF，满足∠ADB＝∠AFE，求该二次函数的解析式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）c<；（3）

【解析】（1）根据抛物线的对称轴公式代入可得a的值；

（2）根据已知得：抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，列不等式可得c的取值范围；

（3）根据60°的正切表示点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式中得：ac=12，则c=，从而得A和B的坐标，表示F的坐标，作辅助线，构建直角△ADG，根据已知的角相等可得△ADG∽△AFE，列比例式得方程可得a和c的值．

（1）抛物线的对称轴是：x=，解得：a=；

（2）由题意得二次函数解析式为：y=15x2-5x+c，

∵二次函数与x轴有两个交点，

∴△＞0，

∴△=b2-4ac=(5)2-4×15c，

∴c＜；

（3）∵∠BOD=90°，∠DBO=60°，

∴tan60°=，

∴OB=，

∴B（，0），

把B（，0）代入y=ax2-5x+c中得：，

∵c≠0，

∴ac=12，

∴c=，

把c=代入y=ax2-5x+c中得：

∴

∴

∴AB=-=，AE=，

∵F的纵坐标为

∴，

过点A作AG⊥DB于G，

∴BG=AB=AE=，AG=，

DG=DB-BG=-=，

∵∠ADB=∠AFE，∠AGD=∠FEA=90°，

∴△ADG∽△AFE，

∴，

∴

∴

∴.