题目内容
如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE：EB=2：1，AF⊥DE于G，交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（ ）| A、1：2 | B、1：4 | C、4：9 | D、2：3 |
分析：首先证△AED≌△BFA，得S△ABF=S△DAE，两者都减去△AEG的面积后可得S△AGD=S四边形EGFB，那么只需求△AEC和△AGD的面积关系即可；Rt△AED中，AG⊥ED，易证得△AEG∽△DAG，根据它们的相似比（可由AE、BE的比例关系求得），即可求得面积比，由此得解．
解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD；
∵∠EAG=∠EDA=90°-∠AEG，∠B=∠DAB=90°，AD=AB，
∴△AED≌△BFA；
∴S△ABF=S△DAE；
∴S△ABF-S△AEG=S△DAE-S△AEG，即S△AGD=S四边形EGFB；
∵∠EAG=∠EDA，∠AGE=∠DGA=90°，
∴△AEG∽△DAG；
∴
=（
）2=（
）2=
；
∴S△AEG：S四边形BGFB=4：9；
故选C．
∴∠BAD=90°，AB=AD；
∵∠EAG=∠EDA=90°-∠AEG，∠B=∠DAB=90°，AD=AB，
∴△AED≌△BFA；
∴S△ABF=S△DAE；
∴S△ABF-S△AEG=S△DAE-S△AEG，即S△AGD=S四边形EGFB；
∵∠EAG=∠EDA，∠AGE=∠DGA=90°，
∴△AEG∽△DAG；
∴
| S△AEG |
| S△DAG |
| AE |
| AD |
| AE |
| AE+BE |
| 4 |
| 9 |
∴S△AEG：S四边形BGFB=4：9；
故选C．
点评：此题主要考查了正方形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质．能够发现四边形BGFB和△AGD的面积关系是解答此题的关键．
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，交BC于点E．
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