Question

如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B=30°，∠CAD=30°
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OA，∠OAC=2∠BAC=60°，又∠CAD=30°，即AD⊥OA，AD为切线；
（2）连接OB，由垂径定理和等腰三角形的性质即可证明BC=AC=OA=5，在直角△OAD中，易得AD=5

3

．

解答：（1）证明：连接OA，
∵∠B=30，
∴∠AOC=60°，
∴∠OAC=60°，
∵∠CAD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴AD⊥OA，
∴直线AD是⊙O的切线；

（2）解：连接OB，
∵OD⊥AB，OB=OA，
∴OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OA=BC=OB=5，
在直角△OAD中，∠ODB=30°，
∴OD=10，
∴AD=

OD2-OA2

=

75

=5

3

．

点评：此题考查的知识点是切线的判定和性质以及等边三角形的判定和性质和勾股定理的运用，解题的关键是证明△OBC是等边三角形．