Question

如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE．

(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；

(2)求证：BG²－GE²＝EA²．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)BH＝AC． 　　∵CD⊥AB，BE⊥AC， 　　∴∠BDH＝∠BEC＝∠CDA＝90°． 　　∵∠ABC＝45°， 　　∴∠BCD＝180°－90°－45°＝45°＝∠ABC． 　　∴DB＝DC， 　　∵∠BDH＝∠BEC＝∠CDA＝90°， 　　∴∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠HBD＝90°， 　　∴∠HBD＝∠ACD． 　　在△DBH和△DCA中 　　 　　∴△DBH≌△DCA(ASA)， 　　∴BH＝AC． 　　(2)连接CG， 　　∵∠ABC＝45°，CD⊥AB， 　　∴∠BCD＝90°?∠ABC＝45°＝∠ABC， 　　∴DB＝CD． 　　∵F为BC的中点， 　　∴DF垂直平分BC．∴BG＝CG． 　　∵∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC，∴EC＝EA． 　　在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2－GE2＝CE2． 　　∵CE＝AE，BG＝CG， 　　∴BG2－GE2＝EA2．