题目内容
如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，BO⊥AC，垂足为点O．过点A作射线AE∥BC，点P是边BC上任意一点，连接PO并延长与射线AE相交于点Q，设B、P两点间的距离为x．（1）如图2，如果四边形ABPQ是平行四边形，求x的值；
（2）过点Q作直线BC的垂线，垂足为点R，当x为何值时，△PQR∽△CBO？
（3）设△AOQ的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域．
分析：（1）首先根据等腰三角形的三线合一定理，得到OA=OC=
AC=3，再由相似三角形的判定，得到比例线段，问题即可得解；
（2）首先根据当x=0或5时，以及当x≠0或5时，然后可求得BP的长；
（3）首先根据AAS，证明△AOQ≌△COP，再根据三角形面积的求解方法，表示出△OPC的高与低即可求解．
| 1 |
| 2 |
（2）首先根据当x=0或5时，以及当x≠0或5时，然后可求得BP的长；
（3）首先根据AAS，证明△AOQ≌△COP，再根据三角形面积的求解方法，表示出△OPC的高与低即可求解．
解答：
解：（1）∵AB=BC=5，AC=6，BO⊥AC，
∴OA=OC=
AC=3，
∵四边形ABPQ是平行四边形，
∴AQ∥BC，AQ=BP，
∴AQ：CP=OA：OC=1，
∴AQ=CP，
∴BP=CP=
BC=2.5，
∴x=2.5；
（2）当x=0或5时，易得△PQR∽△CBO，
当x≠0或5时，
∵BO⊥AC，QR⊥BC，
∴∠BOC=∠QRP=90°，
当∠C=∠QPR时，△PQR∽△CBO，
∴OP=OC=3，QP：BC=QR：OB，
∵AE∥BC，OB=4，
∴△AOQ∽△COP，
∴OQ：OP=OA：OC=1，
∵QP=6，
∴QR=
=
=
，
过点O作OK⊥BC，垂足为K，
∴
=
=
，
∴OK=
，
∴PK=
，
∴PC=
，
∴BP=
；
∴当x=0、5或
时，△PQR∽△CBO．
（3）∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠C，∠AOQ=∠COP，
∵OA=OC，
∴△AOQ≌△COP，
∴S△AOQ=S△COP=y，
∵OK=
，
∴y=S△COP=
=
=6-
x（0≤x＜5）．
解：（1）∵AB=BC=5，AC=6，BO⊥AC，∴OA=OC=
| 1 |
| 2 |
∵四边形ABPQ是平行四边形，
∴AQ∥BC，AQ=BP，
∴AQ：CP=OA：OC=1，
∴AQ=CP，
∴BP=CP=
| 1 |
| 2 |
∴x=2.5；
（2）当x=0或5时，易得△PQR∽△CBO，
当x≠0或5时，
∵BO⊥AC，QR⊥BC，
∴∠BOC=∠QRP=90°，
当∠C=∠QPR时，△PQR∽△CBO，
∴OP=OC=3，QP：BC=QR：OB，
∵AE∥BC，OB=4，
∴△AOQ∽△COP，
∴OQ：OP=OA：OC=1，
∵QP=6，
∴QR=
| QP•OB |
| BC |
| 6×4 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
过点O作OK⊥BC，垂足为K，
∴
| OK |
| QR |
| OP |
| QP |
| 1 |
| 2 |
∴OK=
| 12 |
| 5 |
∴PK=
| 9 |
| 5 |
∴PC=
| 18 |
| 5 |
∴BP=
| 7 |
| 5 |
∴当x=0、5或
| 7 |
| 5 |
（3）∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠C，∠AOQ=∠COP，
∵OA=OC，
∴△AOQ≌△COP，
∴S△AOQ=S△COP=y，
∵OK=
| 12 |
| 5 |
∴y=S△COP=
| PC•OK |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 6 |
| 5 |
点评：本题考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质和三角形面积的求解．此题属于综合性比较强的题目，解题时注意仔细识图．
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明理由．
如图1，AD和AE分别是△ABC的BC边上的高和中线，点D是垂足，点E是BC的中点，规定：λA=