Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A， 与y轴交于点B， 且

OA = 3，AB = 5．点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）在点P从O向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t之间的函数关系式（不必写出t的取值

范围）；

（3）在点E从B向O运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，请求出t的值；若不

能，请说明理由；

（4）当DE经过点O时，请你直接写出t的值．

 

Answer 1

解：（1）在Rt△AOB中，OA = 3，AB = 5，由勾股定理得.

∴A（3，0），B（0，4）．

设直线AB的解析式为.

∴  解得   

（2）如图，过点Q作QF⊥AO于点F.

∵ AQ = OP= t，∴．

由△AQF∽△ABO，得．

∴．∴．

∴，

∴．

（3）四边形QBED能成为直角梯形．

    ①如图，当DE∥QB时，

   ∵DE⊥PQ，

∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．

    此时∠AQP=90°．

由△APQ ∽△ABO，得.

∴．

解得．

②如图，当PQ∥BO时，

∵DE⊥PQ，

∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．

此时∠APQ =90°．

由△AQP ∽△ABO，得

即．

解得．  

（4）或．