Question

【题目】已知二次函数（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C.

（1）求C点坐标，并判断b的正负性；

（2）设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC交于点D，已知DC：CA=1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC，

①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；

②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）b＜0；（2）①；②

【解析】

(1)把x=0代入，即可求得点C坐标，根据 OA＜OB，可知，由a＞0即可求得b＜0；

(2)①过点D作DM⊥y轴，垂足为M，则有，由此可得，设A(-2m，0)m＞0，则AO=2m，DM=m，继而可得D(m，-6)，B(4m，0)，AB=6m， BN=3m，再由DN//OE，可得△BND∽△BOE，继而根据相似三角形的性质可得OE=8，再根据，可求得，由此可得A(-2，0)，B(4，0)，设，继而可得C(0，-8a)，再根据C点(0，-4)可求得a值，即可求得答案；

②由①易知：B(4m，0)，C(0，-4)，D(m，-6)，∠CBD一定为锐角，利用勾股定理求得，然后分两种情况进行讨论即可得.

(1)当x=0时，=-4，

∴C(0，-4)，

∵ OA＜OB，∴对称轴在y轴右侧，即，

∵a＞0，∴b＜0；

(2)①过点D作DM⊥y轴，垂足为M，则有DM//OA，

∴△DCM∽△ACO，

∴，

∴，

设A(-2m，0)m＞0，则AO=2m，DM=m，

∵OC=4，∴CM=2，

∴D(m，-6)，B(4m，0)，AB=6m， BN=3m，

∵DN//OE，

∴△BND∽△BOE，

∴，

即，

∴OE=8，

∴CE=OE-OC=4，

∴，

∴，

∴A(-2，0)，B(4，0)，

设，

即，

令x=0，则y=-8a，

∴C(0，-8a)，

∴-8a=-4，

∴a=，

∴；

②由①易知：B(4m，0)，C(0，-4)，D(m，-6)，∠CBD一定为锐角，

由勾股定理可得：，

当∠CDB为锐角时，，

，

解得；

当∠BCD为锐角时，，

，

解得，

综上：，

∴，

∴.