Question

已知：如图，是⊙的直径，是⊙外一点，过点作的垂线，交的延长线于点,的延长线与⊙交于点，．

（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，⊙的半径为，求的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）．

试题分析：（1）连接OC，若要证明DC是⊙O的切线，则可转化为证明∠DCO=90°即可；
（2）设AD=k，则AE=，ED=2k，利用勾股定理计算即可．
试题解析：（1）证明：连结OC，

∵DE=DC，
∴∠4=∠E，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠4+∠1=∠E+∠3=90°，
∴DC是⊙O的切线；
（2）∵∠4=∠E，
∴，
设AD=k，则AE=k，ED=2k，
∴DC=2k，
在Rt△OCD中，
由勾股定理得：OD²=DC²+OC²，
∴(+k)²=(2k)²+²，
∴k=0(舍)，k=，
∴AE=k=
考点: 1.切线的判定；2.解直角三角形；3.勾股定理．