Question

如图等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，CD=6，OC⊥BC且∠COB=30°．
（1）求点B、点D的坐标；
（2）若点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC运动，设△DCP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在直线BC上是否存在点E，使以O、C、E为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在三角形ODC中，∠DCO=30°DC=6，求出OC和OD，求出OB即可；
（2）过D作DE⊥BC，交BC延长线于E，求出DE=3

3

，分为两种情况：①当P在线段BC上时，此时0≤t＜4，得出S=

1

2

×CP×DE，代入求出即可；②当P在BC延长线时，此时4＜t，求出S=

1

2

CP×DE=

1

2

•（t-4）•3

3

；
（3）在直线BC上存在点E，使以O、C、E为顶点的三角形与△AOD相似，理由是：①当E和B重合时，以O、C、E为顶点的三角形与△AOD相似，②当E是直线BC交y轴的交点时，即E和F重合，求出BF=12，OF=6

3

即可；③当△OBE时等边三角形时，以O、C、E为顶点的三角形与△AOD相似，过E作EM⊥OB于M，求出OM=BM=

1

2

OB=4，由勾股定理求出EM=4

3

即可；④点E在第四象限，∠BOE=30°时根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OE，再解直角三角形求出点E的横坐标与纵坐标的长度，即可得解．

解答：解：（1）∵∠COB=30°，
∴∠CBA=60°，
∵DC∥AB，
∴∠DCB=180°-60°=120°，
∵OC⊥CB，
∴∠OCB=90°，
∴∠DCO=30°，
∵DC=6，
∴DO=2

3

，OC=4

3

，
∴D的坐标是（0，2

3

），
∵∠COB=30°，
∴CB=4，OB=2CB=8，
∴B的坐标是（8，0）；

（2）∵四边形ADCB是等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA=60°，
∵DO=2

3

，
∴AO=2，AD=2AO=4，
即BC=AD=4，
过D作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图2，
则∠DEC=∠OCB=90°，
∵DC∥AB，
∴∠ECD=∠CBO，
∴△DEC∽△OCB，
∴

DE

OC

=

DC

OB

，
∴

DE

4 3

=

6

8

，
∴DE=3

3

，
分为两种情况：①当P在线段BC上时，此时0≤t＜4，
S=

1

2

×CP×DE=

1

2

（4-t）•3

3

，
S=-

3 3

2

t+6

3

；
②当P在BC延长线时，此时4＜t，如图3，
S=

1

2

CP×DE=

1

2

•（t-4）•3

3

，
S=

3 3

2

t-6

3

；

（3）在直线BC上存在点E，使以O、C、E为顶点的三角形与△AOD相似，
理由是：①当E和B重合时，以O、C、E为顶点的三角形与△AOD相似，
此时E的坐标是（8，0）；
②当E是直线BC交y轴的交点时，即E和F重合，
∵BO=8，∠CBO=60°，∠DOB=90°，
∴BF=12，OF=6

3

，
即此时E的坐标是（0，6

3

）；
③当△OBE时等边三角形时，以O、C、E为顶点的三角形与△AOD相似，
此时∠EOC=60°-30°=30°，如图4，
过E作EM⊥OB于M，
则OM=BM=

1

2

OB=4，OE=OB=8，
由勾股定理得：EM=4

3

，
即E的坐标是（4，4

3

）；
④点E在第四象限∠BOE=30°时，以O、C、E为顶点的三角形与△AOD相似，
此时，∠OEC=90°-60°=30°，
OE=2OC=2×4

3

=8

3

，
8

3

×

3

2

=12，8

3

×

1

2

=4

3

，
点E的坐标是（12，-4

3

）．

点评：本题考查了等腰直角三角形，含30度角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的性质和判定，相似三角形等知识点的综合运用，用了分类讨论思想．