Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒（0≤t≤6），试求S与t的函数表达式；
（3）在题（2）的条件下，是否存在某一时刻，使得△OMN的面积与OABC的面积之比为3：4？如果存在，请求出t的取值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：压轴题

分析：（1）根菱形性质得出OA=AB=BC=CO=4，过A作AD⊥OC于D，求出AD、OD，即可得出答案；
（2）有三种情况：①当0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交，②当2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交，③当4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交，画出图形求出即可；
（3）分为以上三种情况，求出得到的方程的解，看看是否在所对应的范围内，即可进行判断．

解答：解：（1）∵四边形OABC为菱形，点C的坐标是（4，0），
∴OA=AB=BC=CO=4，
过A作AD⊥OC于D，
∵∠AOC=60°，
∴OD=2，AD=2

3

，
∴A（2，2

3

），B（6，2

3

）；

（2）直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：①如图1，

当0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交，
∵MN⊥OC，
∴ON=t，
∴MN=ON•tan60°=

3

t，
∴S=

1

2

ON•MN=

3

2

t²；
②当2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交，如图2，

S=

1

2

ON•MN=

1

2

×t×2

3

=

3

t；
③当4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交，如图3，

设直线l与x轴交于H，
MN=2

3

-

3

（t-4）=6

3

-

3

t，
∴S=

1

2

MN•OH=

1

2

•（6

3

-

3

t）t=-

3

2

t²+3

3

t；

（3）答：不存在，
理由是：假设存在某一时刻，使得△OMN的面积与OABC的面积之比为3：4，
菱形AOCB的面积是4×2

3

=8

3

①

3

2

t²：8

3

=3：4，
解得：t=±2

3

，
∵0≤t≤2，
∴此时不符合题意舍去；
②

3

t：8

3

=3：4，
解得：t=6（舍去）；
③（-

3

2

t²+3

3

t）：8

3

=3：4，
此方程无解．
综合上述，不存在某一时刻，使得△OMN的面积与OABC的面积之比为3：4．

点评：本题考查了菱形的性质，三角形的面积，二次函数、一次函数的应用等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力．注意一定要进行分类讨论．