Question

在平面直角坐标系xOy中，点的坐标是，过点作直线垂直轴，点是直线上异于点的一点，且.过点作直线的垂线，点在直线上，且在直线的下方，.设点的坐标为.

（1）判断△的形状，并加以证明；
（2）直接写出与的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）延长交（2）中所求函数的图象于点.求证：.

Answer 1

（1）△为等腰三角形；（2）；

试题分析：（1）由，，可得，由，可得到，即可得到，即可作出判断；
（2）根据等腰三角形的性质结合函数图象上的点的坐标的特征求解即可；
（3）过作于，于交直线于，由BC=OC可得，设，，则，，再分①当点在轴下方时，②当点在轴上方时，③当点在轴上时，三种情况，根据相似三角形的性质求解即可.
（1）△为等腰三角形

∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴△为等腰三角形；
（2）与的函数关系式为；
（3）过作于，于交直线于.
∵C为抛物线上异于顶点的任意一点，且BC=OC，
∴．
设，,
则，.
①当点在轴下方时，

∵
∴.
∵∥，
∴△∽△．
∴．
∴
∴．
∴；
②当点在轴上方时，，.同理可证；

③当点在轴上时，.

∴.
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．