Question

解方程：

x2+x+1

x2+1

 +  

2 x2+x+2

x2+x+1

= 

19

6

．

Answer 1

分析：观察方程，发现等号左边第一个分式的分子与第二个分式的分母相同，又

2x2+x+2

x2+x+1

=1+

x2+1

x2+x+1

，故可设y=

x2+x+1

x2+1

，运用换元法解此方程，结果需要检验．

解答：解：将原方程变形为

x2+x+1

x2+1

+

x2+1

x2+x+1

=

2

3

+

3

2

．
设y=

x2+x+1

x2+1

，则原方程变为y+

1

y

=

2

3

+

3

2

，
解得y₁=

2

3

，y₂=

3

2

．
当

x2+x+1

x2+1

=

2

3

时，x=

-3± 5

2

；
当

x2+x+1

x2+1

=

3

2

时，x=1．
经检验，x=

-3± 5

2

及x=1均是原方程的根．
故原方程的根是x=

-3± 5

2

及x=1．

点评：本题考查了分式方程的解法．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．注意解分式方程一定要验根．本题通过观察，能够将

2x2+x+2

x2+x+1

变形为1+

x2+1

x2+x+1

，是解题的关键．