Question

【题目】如图，边长为正方形OABC的边OA、OC在坐标轴上.在轴上线段（Q在A的右边），P从A出发，以每秒1个单位的速度向O运动，当点P到达点O时停止运动，运动时间为.连接PB，过P作PB的垂线，过Q作轴的垂线，两垂线相交于点D.连接BD交轴于点E，连接PD交轴于点F，连接PE.

（1）求∠PBD的度数.

（2）设△POE的周长为，探索与的函数关系式，并写出的取值范围.

（3）令，当△PBE为等腰三角形时，求△EFD的面积.

Answer 1

【答案】(1)∠PBD=45° (2) 　　(3) 或。

【解析】（1）易证BAP≌PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∠PAD的度数.

（2）由于∠EBP=45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，借助于三角形全等由l=EP+PO+EO=(CE+EO)+(AP+PO)=2AO进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定t的取值范围值；（3）先证明三角形全等，再求出EF，即可得出面积．

解：(1) ∵∠APB+∠PBA=∠APB+∠DPQ=90°

∴∠PBA=∠DPQ

又∵∠BAP=∠PQD=90°,BA=PQ=

∴△BAP≌△PQD

∴BP=PD

又∵BP⊥PD

∴∠PBD=45°

(2)延长PA至M，使得AM=CE

在△BAM与△BCE中

∵

∴△BAM≌△BCE

∴∠MBA=∠EBC

∵∠EBC+∠ABP=45°

∴∠MBP=∠MBA+∠ABP=45°=∠EBP

在△BPM与△BPE中

∵

∴△BPM≌△BPE

∴EP=MP=MA+AP=CE+AP

又∵l=EP+PO+EO=(CE+EO)+(AP+PO)=2AO

∴　　

(3)EP=EB

∵∠PBD=45°

∴EP⊥EB ，E为BD中点，

即E与C重合，P与O重合

此时，S△EFD=8，　

PB=PE

∵∠PBD=45°

∴EP⊥PB (不存在)

BP=BE

∵BA=BC

∴△BAP≌△BCE ∴CE=AP=t ∴PE=2t

又∵OE=OP= ∴PE= ∴= 解得：

∵△BAP≌△PQD ∴AP=QD ∴D

∵P ∴ ∴F

∴EF=

此时，　

综上所述：或。

“点睛”本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定等知识，考查了分类讨论的思想，考查了利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强．熟悉正方形与一个度数为45°的角组成的基本图形（其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交）是解决本题的关键．