Question

【题目】在等腰直角三角形AOB中，已知AO⊥OB，点P、D分别在AB、OB上．

（1）∠A＝∠B＝　 　；

（2）如图1中，若PO＝PD，∠OPD＝45°，证明△BOP是等腰三角形；

（3）如图2中，若AB＝10，点P在AB上移动，且满足PO＝PD，DE⊥AB于点E，试问：此时PE的长度是否变化？若变化，说明理由；若不变，求出PE的长．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）证明见解析；（3）PE的值不变，为5．

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的定义可解答；

（2）由PO=PD，利用等边对等角和三角形内角和定理可求得∠POD=67.5°，∠OPB=67.5°，然后利用等角对等边可得出结论；

（3）过点O作OC⊥AB于C，首先利用等腰直角三角形的性质可以得到∠COB=∠B=45°，OC=5，然后证得∠POC=∠DPE，进而利用AAS证明△POC≌△DPE，再根据全等三角形的性质可得OC=PE．

（1）在等腰直角三角形AOB中，∠AOB＝90°

∴∠A＝∠B＝45°

故答案为：45°；

（2）证明：∵PO＝PD，∠OPD＝45°，

∴∠POD＝∠PDO＝＝67.5°，

由（1）知：∠B＝45°，

∴∠OPB＝180°﹣∠POB﹣∠B＝67.5°，

∴∠POD＝∠OPB，

∴BP＝BO，即△BOP是等腰三角形；

（2）PE的值不变，证明如下：

如图2，过点O作OC⊥AB于C，

∵∠AOB＝90°，AO＝BO，

∴△BOC是等腰直角三角形，∠COB＝∠B＝45°，点C为AB的中点，

∴OC＝AB＝5，

∵PO＝PD，

∴∠POD＝∠PDO，

又∵∠POD＝∠COD+∠POC＝45°+∠POC，∠PDO＝∠B+∠DPE＝45°+∠DPE，

∴∠POC＝∠DPE，

在△POC和△DPE中，

，

∴△POC≌△DPE（AAS），

∴OC＝PE＝5，

∴PE的值不变，为5．