Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，关于x的方程x²-2ax+b²=0的两根为x₁、x₂，x轴上两点M、N的坐标分别为（x₁，0）、（x₂，0），其中M的坐标是（a+c，0）；P是y轴上一点，点D（a，-c²）．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若S_△MNP=3S_△NOP，
①求sinB的值；
②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值，使△MND是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据根与系数的关系及点M的坐标得出a、b、c之间的关系，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状；
（2）①由S_△MNP=3S_△NOP可得出MN=3ON即MO=4O，再由M点的坐标可求出N点坐标，再由a+c，

a+c

4

是方程x²-2ax+b²=0的两根可得出a、c之间的数量关系，由勾股定理可得出ab之间的关系，再根据锐角三角函数的定义即可求出sinB的值；
②过D作DE⊥x轴于点E，由等腰直角三角形的性质可知NE=EM，DN=DM，再根据两点之间的距离公式可知DE=c，根据c＞0可得出c的值，由勾股定理可求出a、b的值，进而可得出结论．

解答：解：（1）证明：∵关于x的方程x²-2ax+b²=0的两根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2a，①，
x₁•x₂=b²，②，
∵点M（a+c，0）
∴（a+c）²-2a（a+c）+b²=0（1分）
∴a²+2ac+c²-2a²-2ac+b²=0，
∴b²+c²=a²．    （1分）
由勾股定理的逆定理得：△ABC为直角三角形且∠A=90°；          （1分）

（2）①如图所示；
∵S_△MNP=3S_△NOP
∴MN=3ON即MO=4ON（1分）
又M（a+c，0），
∴N(

a+c

4

，0)
∴a+c，

a+c

4

是方程x²-2ax+b²=0的两根
∴(a+c)+

a+c

4

=2a，
∴c=

3

5

a（1分）
由（1）知：在△ABC中，∠A=90°
由勾股定理得b=

4

5

a，
∴sinB=

b

a

=

4

5

（1分）
②能．理由如下：（1分）
过D作DE⊥x轴于点E则NE=EM，DN=DM，
要使△MND为等腰直角三角形，只须ED=

1

2

MN=EM
∵M（a+c，0），D（a，-c²），
∴DE=c²，
EM=c
∴c²=c，
又c＞0，
∴c=1               （1分）
由于c=

3

5

a   b=

4

5

a，
∴a=

5

3

，b=

4

3

，（1分）
∴当a=

5

3

，b=

4

3

，c=1时，△MNP为等腰直角三角形．         （1分）

点评：本题考查的是勾股定理的逆定理、直角三角形的性质、三角形的面积及根与系数的关系，涉及面较广，难度较大．