Question

【题目】如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为弧的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点．

判断直线与的位置关系，并说明理由；

若，，求的长．

Answer 1

【答案】直线与的位置关系是相切，理由见解析； ．

【解析】

（1）连接CE，推出AD∥CE，得出∠ECM=∠DAC=∠DAB=∠EBC，根据∠AHB=90°推出∠DAB+∠ABE=90°．代入推出∠ABE+∠EBC=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）求出AC长，求出AM=AB=3，求出CM=2，证△ECM∽△EBC，得出比例式，推出BE=2EC，在△BEC中，根据勾股定理即可求出BE．

直线与的位置关系是相切，

理由是：连接，

∵为直径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵弧弧，

∴，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∴，

即，

又∵经过直径的外端，

∴是圆的切线．

∵，．由知，是直角三角形，由勾股定理得：．

在中，于，平分，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

在中，由勾股定理得：，

∴．