Question

（2011•武汉模拟）在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，BA为半径作弧

AC

，F为

AC

上的一动点，过点F作⊙B的切线交AD于点P，交DC于点Q．
（1）求证△DPQ的周长等于正方形ABCD的周长的一半；
（2）分别延长PQ、BC，延长线相交于点M，设AP长为x，BM长为y，试求出y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据正方形性质得出AB⊥AD，BC⊥CD，推出DA和CB都是圆B的切线，根据切线长定理A得出PA=PF，QF=CQ，代入求出即可；
（2）在△DPQ中根据勾股定理求出CQ的值，求出DQ的值，根据平行线得出三角形相似，根据相似得出

DP

CM

=

DQ

CQ

，代入求出即可．

解答：（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠DAB=∠D=∠DCB=90°，
即AB=BC=CD=AD，AB⊥AD，BC⊥CD，
∴DA和CD都是圆B的切线，
∵PQ切圆B于F，
∴AP=PF，QF=CQ，
∴△DPQ的周长是DP+DQ+PQ=DP+DQ+PF+QF=DP+AP+DQ+CQ=AD+CD，
∵正方形ABCD的周长是AD+AB+CD+BC=2AD+2CD，
∴△DPQ的周长等于正方形ABCD的周长的一半．

（2）解：在Rt△PDQ中，由勾股定理得：DP²+DQ²=PQ²，
∴（4-x）²+（4-CQ）²=（X+CQ）²，
解得：CQ=

16-4x

x+4

，
DQ=4-

16-4x

x+4

=

8x

x+4

，
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴△PDQ∽△MCQ，
∴

DP

CM

=

DQ

CQ

，
即

4-x

y-4

=

8x x+4

16-4x x+4

，
∴y=

8

x

+

1

2

x，
y与x之间的函数关系式是y=

8

x

+

1

2

x．

点评：本题考查了勾股定理，切线的判定，切线长定理，相似三角形的性质和判定，正方形的性质等知识点的运用，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，有一定的难度．