题目内容

如图，在正方形ABCD的边AB上连接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形的直角边上连接正方形，无限重复上述过程，如果第一个正方形ABCD的边长为1，那么第n个正方形的面积为________．

$\text{[math]}$
分析：观察图形，分别求得每个正方形的边长，从而发现规律，根据其规律解题即可．
解答：可以发现，第一个正方形的边长为（ $\text{[math]}$ ）⁰=1，
第2个正方形的边长为（ $\text{[math]}$ ）¹= $\text{[math]}$ ，
第3个正方形的边长为（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，
第n个正方形的边长为（ $\text{[math]}$ ）^（n-1）∴第n个正方形的面积=[（ $\text{[math]}$ ）²]^n-1= $\text{[math]}$
点评：本题利用了等腰直角三角形的性质，直角边长是斜边长的 $\text{[math]}$ 倍，及正方形的面积公式求解．找到第n个正方形的边长为（ $\text{[math]}$ ）^n-1是解题的关键．

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如图：在正方形网格上有△ABC，△DEF，说明这两个三角形相似，并求出它们的相似比．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线

，交BC于点E．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）若EC=3，BD=2

，求⊙O的直径AC的长度；
（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．

23、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG．
（1）求证：AF=BF；
（2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形．

（2012•陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+

．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6

，求另一直角边BC的长．