Question

如图，已知⊙O的半径OA=，弦AB=4，点C在弦AB上，以点C为圆心，CO为半径的圆与线段OA相交于点E．
（1）求cosA的值；
（2）设AC=x，OE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当点C在AB上运动时，⊙C是否可能与⊙O相切？如果可能，请求出当⊙C与⊙O相切时的AC的长；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，根据垂径定理求得AD=2；然后利用三角函数值的定义求得cosA的值；
（2）过点C作CF⊥OE，垂足为F．根据垂径定理求得OF=；然后在Rt△ACF中，由三角函数值的定义求得AF=AC•cosA=x，再根据图形知AF+OF=OA，据此列出函数关系式
y=2x；最后求定义域；
（3）在Rt△AOD中，利用勾股定理求得OD=1．当⊙C与⊙O相切时，由垂径定理求得OC的长度，然后由勾股定理知CD=|AD-AC|=|2-x|，OD²+CD²=OC²，所以将其代入函数关系式，得到1²+（2-x）²=；最后通过解方程知当⊙C与⊙O相切时的AC的长为．
解答：解：（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∵AB是⊙O的弦，∴AD=AB=2，（1分）
∴cosA=．（1分）

（2）过点C作CF⊥OE，垂足为F，
∵OE是⊙C的弦，OF=，
在Rt△ACF中，AF=AC•cosA=x，（1分）
∵AF+OF=OA，∴．（1分）
∴函数解析式为y=2x．（1分）
函数定义域为．（1分）

（3）⊙C可能与⊙O相切．
在Rt△AOD中，OD==1．
当⊙C与⊙O相切时，OC=，（1分）
∵CD=|AD-AC|=|2-x|，OD²+CD²=OC²，
∴1²+（2-x）²=．（1分）
∴x₁=．（1分）
当x=时，⊙C与OA相切于点O，不符合题意．
∴当⊙C与⊙O相切时的AC的长为．（1分）
点评：本题综合考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形以及勾股定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．