题目内容
如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC．
（1）P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB=PE+PF；
（2）如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB=PE+PF，这个结论还成立吗？如果成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（1）P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB=PE+PF；
（2）如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB=PE+PF，这个结论还成立吗？如果成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（1）证明：∵P，E，F分别为中点，
∴PE=
AB，PF=
CD．（三角形中位线定理）
∴PE+PF=
（AB+CD）．
又∵AB=CD，
∴AB=PE+PF．
（2）成立．
∵PE∥AB，PF∥CD，
∴
=
，
=
，（平行线分线段成比例定理）
∵AB=CD
∴
+
=
+
∴
=
=
=1，
∴
=1，
∴PE+PF=AB．
∴PE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴PE+PF=
| 1 |
| 2 |
又∵AB=CD，
∴AB=PE+PF．
（2）成立．
∵PE∥AB，PF∥CD，
∴
| PE |
| AB |
| PC |
| BC |
| PF |
| CD |
| PB |
| BC |
∵AB=CD
∴
| PE |
| AB |
| PF |
| CD |
| PC |
| BC |
| PB |
| BC |
∴
| PE+PF |
| AB |
| PC+PB |
| BC |
| BC |
| BC |
∴
| PE+PF |
| AB |
∴PE+PF=AB．
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