Question

已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．

（1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）；

（2）如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC=4，连接OD交BC于F．①求证：OD⊥BC；②求EF的长．

Answer 1

       解：（1）尺规作图如图1所示：

（2）①如图2，∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠BAD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠D，

∴∠CAD=∠D，

∴AC∥OD，

∴∠ACB=∠OFB，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠OFB=90°，

∴OD⊥BC；

②∵AC∥OD，

∴=，即=，

∴OF=2，

∵FD=5﹣2=3，

在RT△OFB中，BF==，

∵OD⊥BC，

∴CF=BF=，

∵AC∥OD，

∴△EFD∽△ECA，

∴==，

∴=，

∴EF=CF=×=．