Question

如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则

S?AGCD

S?ABCD

=

 

．

Answer 1

分析：首先设△AGE为S₁，△EGB为S₂，△GBF为S₃，△CGF为S₄，△AGC为S₅，依题意可得S₁+S₂+S₃=S₂+S₃+S₄，得出S₁=S₄．又因为△ABF=△AFC=

1

4

S_矩形ABCD，得出S₁+S₂+S₃=S₄+S₅．同理可得S₂+S₃+S₄=S₄+S₅得出S₁=S₂，S₃=S₄．故可得S₁+S₂+S₃+S₄+2S₅=

1

2

S_矩形ABCD，S₁+S₂+S₃+S₄=

2

3

×

1

2

．最后可求得S_{四边形AGCD}：S_矩形ABCD的比例．

解答：解：连接BG，AC，
设△AGE为S₁，△EGB为S₂，△GBF为S₃，△CGF为S₄，△AGC为S₅．
∵△ABF=

1

4

S_矩形ABCD=△EBC，∴S₁+S₂+S₃=S₂+S₃+S₄，即S₁=S₄．
又∵△ABF=△AFC=

1

4

S_矩形ABCD，∴S₁+S₂+S₃=S₄+S₅
同理，S₂+S₃+S₄=S₄+S₅，而S₁=S₂，S₃=S₄．（等底同高）
∴S₁+S₂+S₃+S₄+2S₅=

1

2

S_矩形ABCD．
∴S₁+S₂+S₃+S₄=

2

3

×

1

2

=

1

3

S_矩形ABCD
∴S_{四边形AGCD}：S_矩形ABCD=（3-1）：3=2：3．

另解：连接BG，设△AGE为S₁，△EGB为S₂，△GBF为S₃，△CGF为S₄，△AGC为S₅．
∵△ABF=△EBC，∴S₁+S₂+S₃=S₂+S₃+S₄，即S₁=S₄．
而S₁=S₂，S₃=S₄．（等底同高）所以S₁=S₂=S₃=S₄
又∵△ABF=△AFC=

1

4

S_矩形ABCD，
∴S₁=S₂=S₃=S₄=

1

12

S_矩形ABCD，
∴S₁+S₂+S₃+S₄=

1

3

S_矩形ABCD，
S_{四边形AGCD}=

2

3

S_矩形ABCD，
故答案为：

2

3

．

点评：本题的关键是利用等底同高的三角形的面积相等来求得S₁=S₂，S₃=S₄，从而求得S_{四边形AGCD}：S_矩形ABCD等于（3-1）：3=2：3．