Question

【题目】如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F．

（1）求证：△AFB∽△AEC；

（2）求证：△AEFA∽△ABC；

（3）若∠A=60°时，求△AFE与△ABC面积之比．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

(1)由∠AFB=∠AEC=90°，再加上∠A=∠A即可得证；

(2)由△AFB∽△AEC可得，继而得到，再加上∠A=∠A利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可得；

(3)在Rt△ACE中,由cosA=，可求得，再由△AFE∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得答案.

(1)∵CE⊥AB于E，BF⊥AC，

∴∠AFB=∠AEC=90°，

又∵∠A=∠A，

∴△AFB∽△AEC；

(2)由(1)知△AFB∽△AEC，

∴，

∴．

∵∠A=∠A，

∴△AFE∽△ABC；

(3)在Rt△ACE中,∠AEC=90°，∠A=60°，cosA=，

∴，

∵△AFE∽△ABC，

∴.