题目内容
如图，等腰直角三角形ABC的腰长是2，∠ABC=Rt∠，以AB为直径作半圆O，M是BC上一动点（不运动至点B、C，过点M引半圆O的切线，切点是P．过点A作AB的垂线AN，交切线MP于点
N，AC与ON，MN分别交于点E，F，设BM=x，y=| △CMF周长 | △ANF周长 |
（1）证明：∠MON是直角；
（2）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；当∠CMF=120°时，求y的值；
（3）当F、M、C为顶点的三角形与△AEO相似时，求∠CMF的度数．
分析：（1）连接OP，根据切线长定理和切线的性质定理，易得∠AON=∠PON，同理可得∠POM=∠BOM，于是得到∠AON+∠BOM=∠PON+∠POM，可知∠MON是直角；
（2）由于三角形周长的比等于相似比，所以将y=
转化为y=
=
，AN与BM的比例关系可通过证△AON和BMO相似求得；
（3）本题要分两种情况进行讨论：
①∠AON与∠CMF对应相等，那么∠AOP=2∠CMF，根据∠POB+∠FMB=180°，即可求出∠CMF的度数；
②∠AON与∠CFM对应相等，那么∠POE=∠PFE，两角都加上一个对顶角后可得出∠AEO为直角，那么∠AON和∠CFM均为45°，由此可得出∠CMF的度数．
（2）由于三角形周长的比等于相似比，所以将y=
| △CMF周长 |
| △ANF周长 |
| CM |
| AN |
| 2-X |
| AN |
（3）本题要分两种情况进行讨论：
①∠AON与∠CMF对应相等，那么∠AOP=2∠CMF，根据∠POB+∠FMB=180°，即可求出∠CMF的度数；
②∠AON与∠CFM对应相等，那么∠POE=∠PFE，两角都加上一个对顶角后可得出∠AEO为直角，那么∠AON和∠CFM均为45°，由此可得出∠CMF的度数．
解答：（1）证明：连接OP，根据切线长定理和切线的性质定理，
得∠AON=∠PON，同理可得∠POM=∠BOM，
两式相加得∠AON+∠BOM=∠PON+∠POM=180°×
=90°，
∠MON是直角；
（2）解：∵∠MON=90°
∴∠NOA+∠MOB=90°
又∠NOA+∠ANO=90°
∴∠ANO=∠MOB
∴△ANO∽△BOM
∴
=
，即AN•BM=1，AN=
∵AN∥BC
∴y=
=
=
=-x2+2x（0＜x＜2）
因为∠CMF=120°，∠PMB=60°
所以∠OMB=30°，BM=
OB=
即x=
∴y=2
-3；
（3）解：∵∠CAB=∠C=45°，因此分两种情况讨论：
①∠CMF=∠AOE，△AOE∽△CMF
易知∠AON=∠NOP=∠CMF，
∴∠POB=180°-2∠CMF，∠FMB=180°-∠CMF
∵∠BMF+∠POB=180°
∴180°-2∠CMF+180°-∠CMF=180°
∴∠CMF=60°；
②∠CFM=∠AEO，△CFM∽△AOE，
易知∠PON=∠AON=∠CFM
∴∠PFE=∠POE
∵∠OPF=90°
∴∠OEF=90°
∴∠AON=∠CFM=45°
∴∠CMF=90°．
得∠AON=∠PON，同理可得∠POM=∠BOM，
两式相加得∠AON+∠BOM=∠PON+∠POM=180°×
| 1 |
| 2 |
∠MON是直角；
（2）解：∵∠MON=90°
∴∠NOA+∠MOB=90°
又∠NOA+∠ANO=90°
∴∠ANO=∠MOB
∴△ANO∽△BOM
∴
| AN |
| OB |
| OA |
| BM |
| 1 |
| x |
∵AN∥BC
∴y=
| △CMF的周长 |
| △ANF的周长 |
| CM |
| AN |
| 2-x | ||
|
因为∠CMF=120°，∠PMB=60°
所以∠OMB=30°，BM=
| 3 |
| 3 |
即x=
| 3 |
∴y=2
| 3 |
（3）解：∵∠CAB=∠C=45°，因此分两种情况讨论：
①∠CMF=∠AOE，△AOE∽△CMF
易知∠AON=∠NOP=∠CMF，
∴∠POB=180°-2∠CMF，∠FMB=180°-∠CMF
∵∠BMF+∠POB=180°
∴180°-2∠CMF+180°-∠CMF=180°
∴∠CMF=60°；
②∠CFM=∠AEO，△CFM∽△AOE，
易知∠PON=∠AON=∠CFM
∴∠PFE=∠POE
∵∠OPF=90°
∴∠OEF=90°
∴∠AON=∠CFM=45°
∴∠CMF=90°．
点评：本题主要考查了切线的性质、切线长定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性较强．
练习册系列答案
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