Question

如图，半径为1的⊙O₁与x轴交于A、B两点，圆心O₁的坐标为（2，0），二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A、B两点，其顶点为F．
（1）求b，c的值及二次函数顶点F的坐标；
（2）将二次函数y=-x²+bx+c的图象先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，设平移后图象的顶点为C，在经过点B和点D（0，-3）的直线l上是否存在一点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知圆心O₁的坐标为（2，0），半径为1，可知A（1，0），B（3，0），将两点坐标代入抛物线解析式可求b、c的值，将抛物线解析式写成顶点式，可求顶点F坐标；
（2）由（1）可知抛物线顶点坐标为（2，1），平移后顶点坐标为C（0，0），易求直线l的解析式为y=x-3，根据直线l的特殊性，可求点A关于直线l的对称点A₁的坐标，再求直线CA₁的解析式，将直线CA₁的解析式与直线l的解析式联立，解方程组可求P点坐标．

解答：解：（1）由题意得，A（1，0），B（3，0），
则有

-1+b+c=0  -9+3b+c=0 .

．
解得

b=4  c=-3 .

（2分）
∴二次函数的解析式为y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1．
∴顶点F的坐标为（2，1）．（3分）

（2）将y=-（x-2）²+1平移后的抛物线解析式为y=-x²，其顶点为C（0，0）．（4分）
∵直线l经过点B（3，0）和点D（0，-3），
∴直线l的解析式为y=x-3．（5分）
作点A关于直线l的对称点A₁，连接BA₁、CA₁，
∴AA₁⊥直线l，
设垂足为E，则有A₁E=AE，
由题意可知，∠ABE=45°，AB=2，
∴∠EBA₁=45°，A₁B=AB=2．
∴∠CBA₁=90°．
过点A₁作CD的垂线，垂足为F，
∴四边形CFA₁B为矩形．
∴FA₁=OB=3．
∴A₁（3，-2）．（6分）
∴直线CA₁的解析式为y=-

2

3

x．（7分）
∵

y=- 2 3 x y=x-3.

的解为

x= 9 5 y=- 6 5 .

∴直线CA₁与直线l的交点为点P（

9

5

，-

6

5

）．

点评：本题考查了待定系数法求抛物线解析式的方法，平移，点的对称点坐标的确定，以及直线解析式的确定方法，求直线交点坐标的问题．