Question

已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF.

（1）求证：D是BC的中点；

（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

 

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）四边形ADCF是矩形，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）可证△AFE≌△DBE，得出AF=BD，进而根据AF=DC，得出D是BC中点的结论.

（2）若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形．

试题解析：（1）∵E是AD的中点，∴AE=DE．

∵AF∥BC，∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．

在△AFE和△DBE中，∵∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE，AE=DE，

∴△AFE≌△DBE（AAS）．∴AF=BD．

∵AF=DC，∴BD=DC，即：D是BC的中点．

（2）四边形ADCF是矩形，证明如下：

∵AF=DC，AF∥DC，∴四边形ADCF是平行四边形．

∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC即∠ADC=90°．

∴平行四边形ADCF是矩形．

考点：1.矩形的判定；2.全等三角形的判定和性质；3.等腰三角形的性质；4.平行四边形的性质．