Question

点D是等腰Rt△ABC的直角边BC上一点，AD的中垂线EF分别交AC、AD、AB于E、O、F，且BC=2．
①当CD=时，求AE；
②当CD=2（-1）时，试证明四边形AEDF是菱形．

Answer 1

解：①在等腰Rt△ABC中，有AC=BC=2，
在Rt△ACD中，AD===，
∵EF是AD的中垂线，
∴∠AOE=∠C=90°，AO=AD=，
∵∠AOE=∠C=90°，∠CAD=∠CAD（公共角），
∴△AOE∽△ACD，
∴AO：AC=AE：AD，
∴AE==．

②过D作DG⊥AB于G，BD=BC-CD=2-2（-1）=2-2+2=4-2，
∵∠DGB=90°，∠B=45°，
∴△DGB是等腰直角三角形，
由DG=GB=BDsin45°=（4-2）×=2（-1）=CD，
则在直角△ADC和直角△AGD中：

∴Rt△ADC≌Rt△AGD，
∴∠CAD=∠BAD，
∵EF是AD的中垂线，AF=FD，AE=ED，
∴∠CAD=∠BAD=∠ADE=∠ADF，
∴∠AFD=∠AED，
∴△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD，
∴AF=FD=AE=ED，
∴四边形AEDF是菱形．
分析：①根据勾股定理可得AD===，再证AOE∽△ACD，∴AO：AC=AE：AD，即求AE．
②要证四边形AFCE是菱形，只需通过定义证明四边相等即可．过D作DG⊥AB于G，通过计算得DG=CD，证得Rt△ADC≌Rt△AGD，△AED≌△AFD，∴AF=FD=AE=ED，∴四边形AEDF是菱形．
点评：本题利用了：1：勾股定理，2、等腰直角三角形的性质，3、全等三角形的判定和性质，4、四边相等的四边形是菱形．