Question

如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点．（1）试说明四边形AECF是平行四边形．
（2）若AC=2，AB=1．若AC⊥AB，求线段BD的长．

Answer 1

分析：（1）在平行四边形ABCD中，AC与BD互相平分，OA=OC，OB=OD，又E，F为OB，OD的中点，所以OE=OF，所以AC与EF互相平分，所以四边形AECF为平行四边形；
（2）首先根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，再利用勾股定理计算出BO的长，进而可得BD的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F为OB，OD的中点，
∴OE=OF，
∴AC与EF互相平分，
∴四边形AECF为平行四边形；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AC=2，
∴AO=2，
∵AB=1，AC⊥AB，
∴BO=

AB2+AO2

=

1+1

=

2

，
∴BD=2

2

．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握平行四边形对角线互相平分．