Question

22、如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．

Answer 1

分析：（1）先证四边形ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形，即得AD=CE；
（2）由∠BAC=Rt∠，AD上斜边BC上的中线，即得AD=BD=CD，证得四边形ADCE是平行四边形，即证；

解答：（1）证明：∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，且AE=BD
又∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD
∴AE∥CD，且AE=CD
∴四边形ADCE是平行四边形
∴AD=CE

（2）证明：∵∠BAC=Rt∠，AD上斜边BC上的中线，
∴AD=BD=CD
又∵四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是菱形

点评：本题考查了平行四边形的判定和性质，（1）证得四边形ABDE，四边形ADCE为平行四边形即得；（2）由∠BAC=Rt∠，AD上斜边BC上的中线，即得AD=BD=CD，证得四边形ADCE是平行四边形，从而证得四边形ADCE是菱形．