Question

如图，已知点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A，过点C作CE⊥AB于E，CE=8，cosD=，则AC的长为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   10
4. D.
   

Answer 1

A
分析：连结OC，在Rt△DCE中利用cosD==，可设DE=4x，则DC=5x，于是CE=3x=8，解得x=得到DE=，DC=，根据圆周角定理AB为直径得到∠ACB=90°，利用∠A=∠BCD可得到∠OCD=90°，在Rt△OCD中，根据cosD===，解得OD=，则OE=OD-DE=6，接着根据勾股定理计算出OC，然后再次利用勾股定理计算AC．
解答：连结OC，如图，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠CED=90°，
∴cosD==，
设DE=4x，则DC=5x，
∴CE=3x=8，解得x=，
∴DE=，DC=，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠BCD，
而∠A=∠ACO，
∴∠ACO=∠BCD，
∴∠OCD=90°，
在Rt△OCD中，cosD===，解得OD=，
∴OE=OD-DE=-=6，
在Rt△OCE中，OC==10，
∴OA=10，
∴AE=10+6=16，
在Rt△ACE中，AC===8．
故选A．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了圆周角定理和解直角三角形．