Question

【题目】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索：

设a＋b＝(m＋n)2(其中a、b、m、n均为正整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，

∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ , b＝ .

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + = ( + )2；(答案不唯一)

（3）若a＋4＝(m＋n)2 ,且a、m、n均为正整数,求a的值．

Answer 1

【答案】(1) m+3n，2mn.;(2) 4、2、1、1;(3)13

【解析】试题分析：

（1）把等式的右边展开，合并，即可得到用含“m、n”表达的a和b；

（2）本题答案不唯一，先给m、n任意赋值，如m=1，n=1，结合（1）中所得结论即可计算得到对应的a和b的值；

（3）由（1）中结论结合可得： ，结合m、n均为正整数分情况讨论求得m、n的值，即可求得对应的a的值了.

试题解析：

（1）∵a+b=(m+n)，

∴a+b=m+3n+2mn，

∴a=m+3n，b=2mn.

故答案为：m+3n，2mn.

（2）本题答案不唯一，若设m=1，n=1，

∴a=m+3n=4，b=2mn=2.

故答案可为：4、2、1、1.

（3）由题意，得：a=m+3n，b=2mn

∵4=2mn，且m、n为正整数，

∴m=2，n=1或者m=1，n=2，

∴a=2+3×1=7，或a=1+3×2=13.