题目内容

如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
3 $数学公式$

C
分析：设BC交AB与D，由△ABC为等腰直角三角形，得到∠CAB=45°，再由旋转的性质得到∠CAC′=30°，AC=AC′=1，于是
∠C′AD=15°，在Rt△AC′D中，利用三角函数即可得到C′D=2- $\text{[math]}$ ，最后根据三角形的面积公式求出△AC′D的面积即图中阴影部分的面积．
解答：

解：设BC交AB于D，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
又∵三角形ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，
∴∠CAC′=30°，AC=AC′=1，
∴∠C′AD=15°，
在Rt△PQG中，∠G=90°，∠PGQ=30°，延长GQ到M，使QM=QP，连MP，如图，

设PG=1，则QG= $\text{[math]}$ ，PQ=2，
∴QM=2+ $\text{[math]}$ ，∠M=15°，
∴tan15°= $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ ．
在Rt△AC′D中，
tan15°= $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ ，
∴C′D=2- $\text{[math]}$ ，
∴阴影部分的面积= $\text{[math]}$ •AC′•C′D= $\text{[math]}$ ×1×（2- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
故选C．
点评：本题考查了旋转的性质，旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．同时考查了等腰三角形的性质和15度的正切值．