Question

（2013•高要市一模）如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（1，0）、C两点（点C在点A的左侧），与y轴交于点B，且抛物线的顶点坐标为（-1.5，3.125）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上的一个动点，且在B、C两点之间，问当点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大？并求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积．

Answer 1

分析：（1）利用顶点式求出抛物线解析式进而得出答案；
（2）利用S_△PBC=（S_△PBO+S_△PCO）-S_△OCB进而利用x表示出三角形的面积，即可利用二次函数最值得出答案．

解答：解：（1）设y=a （x+1.5）²+3.125，
把A点（1，0）代入上式，得：（1+1.5）²a+3.125=0，
解得：a=-0.5，
∴抛物线的解析式是：y=-0.5（x+1.5）²+3.125；

（2）连接PO，则S_△PBC=（S_△PBO+S_△PCO）-S_△OCB．
∵S_△OCB=

CO×BO

2

=

4×2

2

=4．
设P（x，-0.5（x+1.5）²+3.125），
∵P在第二象限；
∴S_△PBO=

|x|×2

2

=|x|=-x；
S_△PCO=

4×(-0.5(x+1.5)2+3.125)

2

=-（x+1.5）²+6.25，
S_△PBC=[-（x+1.5）²+6.25-x]-4=-x²-4x；
∴当x=

-(-4)

2×(-1)

=-2时；S有最大值=4．
此时x_P=-2；
∴y_P=3；
∴P（-2，3）．

点评：此题主要考查了顶点式求出二次函数解析式以及三角形面积求法和二次函数最值问题等知识，利用S_△PBC=（S_△PBO+S_△PCO）-S_△OCB得出是解题关键．