Question

【题目】如图，在中，，是的外接圆，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．

（1）求证：；

（2）填空：

①若，________；

②连接，当的度数为________时，四边形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①，②．

【解析】

（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC=120°，得到∠OCA的度数，根据切线的性质求出∠M的度数，根据等腰三角形的性质得到答案；
（2）①作AG⊥CM于G，根据直角三角形的性质求出AG的长，根据勾股定理求出CG，得到答案．
②证明△ABM和△ABC是等边三角形，得出AM=AC=BC=BM，即可得出结论．

解：（1）证明：连接，如图1：

∵是的切线，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）①作AG⊥CM于G，如图2：

∵∠OCA=30°，AC=6，
∴AG=AC=3，
∴CG=AG=3，
则MC=2CG=6；
故答案为：6．
②当∠AMB的度数为60°时，四边形AMBC是菱形；理由如下：
如图3：

由（1）得：AM=AC，∠MAC=180°-∠AMC-∠OCA=120°，
∵∠AMB=60°，
∴∠MAC+∠AMB=180°，
∴AC∥BM，
∴∠ABM=∠BAC，
∴△ABM是等边三角形，∠BAC=∠MAC-∠MAB=60°=∠ABC，
∴AM=BM，△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
∴AM=AC=BC=BM，
∴四边形AMBC是菱形；
故答案为：60°．